(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(incr(nil)) → mark(nil)
active(incr(cons(X, L))) → mark(cons(s(X), incr(L)))
active(adx(nil)) → mark(nil)
active(adx(cons(X, L))) → mark(incr(cons(X, adx(L))))
active(nats) → mark(adx(zeros))
active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(head(cons(X, L))) → mark(X)
active(tail(cons(X, L))) → mark(L)
active(incr(X)) → incr(active(X))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(adx(X)) → adx(active(X))
active(head(X)) → head(active(X))
active(tail(X)) → tail(active(X))
incr(mark(X)) → mark(incr(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
adx(mark(X)) → mark(adx(X))
head(mark(X)) → mark(head(X))
tail(mark(X)) → mark(tail(X))
proper(incr(X)) → incr(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(adx(X)) → adx(proper(X))
proper(nats) → ok(nats)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(head(X)) → head(proper(X))
proper(tail(X)) → tail(proper(X))
incr(ok(X)) → ok(incr(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
adx(ok(X)) → ok(adx(X))
head(ok(X)) → ok(head(X))
tail(ok(X)) → ok(tail(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Rewrite Strategy: INNERMOST
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
incr(mark(X)) →+ mark(incr(X))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [X / mark(X)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(incr(nil)) → mark(nil)
active(incr(cons(X, L))) → mark(cons(s(X), incr(L)))
active(adx(nil)) → mark(nil)
active(adx(cons(X, L))) → mark(incr(cons(X, adx(L))))
active(nats) → mark(adx(zeros))
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(head(cons(X, L))) → mark(X)
active(tail(cons(X, L))) → mark(L)
active(incr(X)) → incr(active(X))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(adx(X)) → adx(active(X))
active(head(X)) → head(active(X))
active(tail(X)) → tail(active(X))
incr(mark(X)) → mark(incr(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
adx(mark(X)) → mark(adx(X))
head(mark(X)) → mark(head(X))
tail(mark(X)) → mark(tail(X))
proper(incr(X)) → incr(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(adx(X)) → adx(proper(X))
proper(nats) → ok(nats)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0') → ok(0')
proper(head(X)) → head(proper(X))
proper(tail(X)) → tail(proper(X))
incr(ok(X)) → ok(incr(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
adx(ok(X)) → ok(adx(X))
head(ok(X)) → ok(head(X))
tail(ok(X)) → ok(tail(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(incr(nil)) → mark(nil)
active(incr(cons(X, L))) → mark(cons(s(X), incr(L)))
active(adx(nil)) → mark(nil)
active(adx(cons(X, L))) → mark(incr(cons(X, adx(L))))
active(nats) → mark(adx(zeros))
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(head(cons(X, L))) → mark(X)
active(tail(cons(X, L))) → mark(L)
active(incr(X)) → incr(active(X))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(adx(X)) → adx(active(X))
active(head(X)) → head(active(X))
active(tail(X)) → tail(active(X))
incr(mark(X)) → mark(incr(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
adx(mark(X)) → mark(adx(X))
head(mark(X)) → mark(head(X))
tail(mark(X)) → mark(tail(X))
proper(incr(X)) → incr(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(adx(X)) → adx(proper(X))
proper(nats) → ok(nats)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0') → ok(0')
proper(head(X)) → head(proper(X))
proper(tail(X)) → tail(proper(X))
incr(ok(X)) → ok(incr(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
adx(ok(X)) → ok(adx(X))
head(ok(X)) → ok(head(X))
tail(ok(X)) → ok(tail(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → top
hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok1_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0 :: Nat → nil:mark:nats:zeros:0':ok
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active,
cons,
s,
incr,
adx,
head,
tail,
proper,
topThey will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
s < active
incr < active
adx < active
head < active
tail < active
active < top
cons < proper
s < proper
incr < proper
adx < proper
head < proper
tail < proper
proper < top
(8) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
incr(
nil)) →
mark(
nil)
active(
incr(
cons(
X,
L))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
L)))
active(
adx(
nil)) →
mark(
nil)
active(
adx(
cons(
X,
L))) →
mark(
incr(
cons(
X,
adx(
L))))
active(
nats) →
mark(
adx(
zeros))
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
head(
cons(
X,
L))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
L))) →
mark(
L)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
adx(
X)) →
adx(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
adx(
mark(
X)) →
mark(
adx(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
adx(
X)) →
adx(
proper(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
adx(
ok(
X)) →
ok(
adx(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → top
hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok1_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0 :: Nat → nil:mark:nats:zeros:0':ok
Generator Equations:
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
cons, active, s, incr, adx, head, tail, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
s < active
incr < active
adx < active
head < active
tail < active
active < top
cons < proper
s < proper
incr < proper
adx < proper
head < proper
tail < proper
proper < top
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol cons.
(10) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
incr(
nil)) →
mark(
nil)
active(
incr(
cons(
X,
L))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
L)))
active(
adx(
nil)) →
mark(
nil)
active(
adx(
cons(
X,
L))) →
mark(
incr(
cons(
X,
adx(
L))))
active(
nats) →
mark(
adx(
zeros))
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
head(
cons(
X,
L))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
L))) →
mark(
L)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
adx(
X)) →
adx(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
adx(
mark(
X)) →
mark(
adx(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
adx(
X)) →
adx(
proper(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
adx(
ok(
X)) →
ok(
adx(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → top
hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok1_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0 :: Nat → nil:mark:nats:zeros:0':ok
Generator Equations:
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, incr, adx, head, tail, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
incr < active
adx < active
head < active
tail < active
active < top
s < proper
incr < proper
adx < proper
head < proper
tail < proper
proper < top
(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol s.
(12) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
incr(
nil)) →
mark(
nil)
active(
incr(
cons(
X,
L))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
L)))
active(
adx(
nil)) →
mark(
nil)
active(
adx(
cons(
X,
L))) →
mark(
incr(
cons(
X,
adx(
L))))
active(
nats) →
mark(
adx(
zeros))
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
head(
cons(
X,
L))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
L))) →
mark(
L)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
adx(
X)) →
adx(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
adx(
mark(
X)) →
mark(
adx(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
adx(
X)) →
adx(
proper(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
adx(
ok(
X)) →
ok(
adx(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → top
hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok1_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0 :: Nat → nil:mark:nats:zeros:0':ok
Generator Equations:
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
incr, active, adx, head, tail, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
incr < active
adx < active
head < active
tail < active
active < top
incr < proper
adx < proper
head < proper
tail < proper
proper < top
(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol incr.
(14) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
incr(
nil)) →
mark(
nil)
active(
incr(
cons(
X,
L))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
L)))
active(
adx(
nil)) →
mark(
nil)
active(
adx(
cons(
X,
L))) →
mark(
incr(
cons(
X,
adx(
L))))
active(
nats) →
mark(
adx(
zeros))
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
head(
cons(
X,
L))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
L))) →
mark(
L)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
adx(
X)) →
adx(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
adx(
mark(
X)) →
mark(
adx(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
adx(
X)) →
adx(
proper(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
adx(
ok(
X)) →
ok(
adx(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → top
hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok1_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0 :: Nat → nil:mark:nats:zeros:0':ok
Generator Equations:
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
adx, active, head, tail, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
adx < active
head < active
tail < active
active < top
adx < proper
head < proper
tail < proper
proper < top
(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol adx.
(16) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
incr(
nil)) →
mark(
nil)
active(
incr(
cons(
X,
L))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
L)))
active(
adx(
nil)) →
mark(
nil)
active(
adx(
cons(
X,
L))) →
mark(
incr(
cons(
X,
adx(
L))))
active(
nats) →
mark(
adx(
zeros))
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
head(
cons(
X,
L))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
L))) →
mark(
L)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
adx(
X)) →
adx(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
adx(
mark(
X)) →
mark(
adx(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
adx(
X)) →
adx(
proper(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
adx(
ok(
X)) →
ok(
adx(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → top
hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok1_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0 :: Nat → nil:mark:nats:zeros:0':ok
Generator Equations:
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
head, active, tail, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
head < active
tail < active
active < top
head < proper
tail < proper
proper < top
(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol head.
(18) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
incr(
nil)) →
mark(
nil)
active(
incr(
cons(
X,
L))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
L)))
active(
adx(
nil)) →
mark(
nil)
active(
adx(
cons(
X,
L))) →
mark(
incr(
cons(
X,
adx(
L))))
active(
nats) →
mark(
adx(
zeros))
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
head(
cons(
X,
L))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
L))) →
mark(
L)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
adx(
X)) →
adx(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
adx(
mark(
X)) →
mark(
adx(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
adx(
X)) →
adx(
proper(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
adx(
ok(
X)) →
ok(
adx(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → top
hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok1_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0 :: Nat → nil:mark:nats:zeros:0':ok
Generator Equations:
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
tail, active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
tail < active
active < top
tail < proper
proper < top
(19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol tail.
(20) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
incr(
nil)) →
mark(
nil)
active(
incr(
cons(
X,
L))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
L)))
active(
adx(
nil)) →
mark(
nil)
active(
adx(
cons(
X,
L))) →
mark(
incr(
cons(
X,
adx(
L))))
active(
nats) →
mark(
adx(
zeros))
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
head(
cons(
X,
L))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
L))) →
mark(
L)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
adx(
X)) →
adx(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
adx(
mark(
X)) →
mark(
adx(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
adx(
X)) →
adx(
proper(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
adx(
ok(
X)) →
ok(
adx(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → top
hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok1_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0 :: Nat → nil:mark:nats:zeros:0':ok
Generator Equations:
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
proper < top
(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol active.
(22) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
incr(
nil)) →
mark(
nil)
active(
incr(
cons(
X,
L))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
L)))
active(
adx(
nil)) →
mark(
nil)
active(
adx(
cons(
X,
L))) →
mark(
incr(
cons(
X,
adx(
L))))
active(
nats) →
mark(
adx(
zeros))
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
head(
cons(
X,
L))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
L))) →
mark(
L)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
adx(
X)) →
adx(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
adx(
mark(
X)) →
mark(
adx(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
adx(
X)) →
adx(
proper(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
adx(
ok(
X)) →
ok(
adx(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → top
hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok1_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0 :: Nat → nil:mark:nats:zeros:0':ok
Generator Equations:
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
proper < top
(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol proper.
(24) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
incr(
nil)) →
mark(
nil)
active(
incr(
cons(
X,
L))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
L)))
active(
adx(
nil)) →
mark(
nil)
active(
adx(
cons(
X,
L))) →
mark(
incr(
cons(
X,
adx(
L))))
active(
nats) →
mark(
adx(
zeros))
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
head(
cons(
X,
L))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
L))) →
mark(
L)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
adx(
X)) →
adx(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
adx(
mark(
X)) →
mark(
adx(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
adx(
X)) →
adx(
proper(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
adx(
ok(
X)) →
ok(
adx(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → top
hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok1_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0 :: Nat → nil:mark:nats:zeros:0':ok
Generator Equations:
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
top
(25) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol top.
(26) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
incr(
nil)) →
mark(
nil)
active(
incr(
cons(
X,
L))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
L)))
active(
adx(
nil)) →
mark(
nil)
active(
adx(
cons(
X,
L))) →
mark(
incr(
cons(
X,
adx(
L))))
active(
nats) →
mark(
adx(
zeros))
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
head(
cons(
X,
L))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
L))) →
mark(
L)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
adx(
X)) →
adx(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
adx(
mark(
X)) →
mark(
adx(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
adx(
X)) →
adx(
proper(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
adx(
ok(
X)) →
ok(
adx(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → nil:mark:nats:zeros:0':ok
top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok → top
hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok1_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0 :: Nat → nil:mark:nats:zeros:0':ok
Generator Equations:
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.